Question

如图，在正三棱锥A-BCD中，底面正三角形BCD的边长为2，点E是AB的中点，AC⊥DE，则正三棱锥A-BCD的体积是

2

3

．

Answer 1

分析：先证明AC⊥面ABD，再求AB长，利用三棱锥的换底性代入体积公式求解．

解答：解：过A作AO⊥平面BCD，连接CO并延长角BD于F，
根据正棱锥的性质，O为底面正三角形的中心，∴CO⊥BD，
又CO为AC在平面BCD中的射影，由三垂线定理得：AC⊥BD，
又AC⊥DE，DE∩AB=E，
∴AC⊥面ABD，即AC、AB、AD相互垂直
∴AB=AC=AD=

2

，
故V_A-BCD=V_C-ABD=

1

3

×

1

2

×AB×AC×AD=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

点评：本题考查椎体体积计算公式，考查空间想象能力，由题意证明AC⊥平面ABD，利用三棱锥的换底性求解是解答本题的关键．