Question

定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），且其导函数f^′（x）满足

f′(x)

2-x

＞0，则当2＜a＜4，有（　　）

• A、f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2）
• B、f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
• C、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• D、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

Answer 1

分析：先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log₂a、2^a的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log₂a）、f（2^a）的大小即可．

解答：解：∵函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足

f′(x)

2-x

＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，（-∞，2）上单调递增，
∵2＜a＜4
∴1＜log₂a＜2＜4＜2^a
又函数f（x）的对称轴为x=2
∴f（2）＞f（log₂a）＞f（2^a），
故选A．

点评：本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和比较大小，根据函数导函数的符号确定函数的单调区间是解决此题的关键，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题．