在△ABC中.a.b.c分别为内角A.B.C的对边.AM是BC边长的中线.G是AM上的点.且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GM}$．(1)若△ABC三内角A.B.C满足sinA:sinB:sinC=$\sqrt{3}$:1:2.求sinC的值,(2)若b2+c2+bc=a2.S△ABC=3$\sqrt{3}$.当AG取到最小值时.求b� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，AM是BC边长的中线，G是AM上的点，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GM}$．
（1）若△ABC三内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=$\sqrt{3}$：1：2，求sinC的值；
（2）若b²+c²+bc=a²，S_△ABC=3$\sqrt{3}$，当AG取到最小值时，求b的值．

分析（1）不妨设a=$\sqrt{3}$，则b=1，c=2，利用余弦定理求得cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=0，可得sinC的值．
（2）由条件利用余弦定理求得A的值，由S_△ABC=3$\sqrt{3}$求得bc=12，．根据G为△ABC的重心，再结合AM为BC边上的中线，利用向量以及余弦定理、基本不等式求得AM的最小值，由此求得AG的最小值以及此时b的值．

解答解：（1）由题意利用正弦定理可得，三边之比为a：b：c=$\sqrt{3}$：1：2，
不妨设a=$\sqrt{3}$，则b=1，c=2，故有cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=0，可得C=$\frac{π}{2}$，故sinC=1．
（2）若c²+c²+bc=a²，∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{2π}{3}$．
根据AM是BC边长的中线，G是AM上的点，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GM}$，可得G为△ABC的重心．
S_△ABC=3$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，∴bc=12，
∴${（2\overrightarrow{AM}）}^{2}$=${（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）}^{2}$=c²+b²-2bc•cosA≥2bc+bc=3bc=36，
∴AM≥3，当且仅当b=c=2$\sqrt{3}$时，等号成立．
即AM得最小值为$\sqrt{3}$，AG的最小值为$\frac{2}{3}$AM=2，此时b=2$\sqrt{3}$．

点评本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．

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