Question

1．已知A、B、C是△ABC的三个内角，f（x）=cos2x+$\frac{5}{2}$sinAsinx，（x∈R），sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，A∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）_max=f（B），且AC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及同角三角函数关系式可求cos（A+$\frac{π}{4}$），利用两角差的正弦函数公式可求sinA，利用倍角公式和配方法可得f（x）=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{3}{2}$，结合二次函数的性质即可求得值域．
（2）由（1）可知sinB=$\frac{1}{2}$，解得B，由正弦定理可求BC=8，由两角差的正弦函数公式可求sinC的值，再根据三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵A∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
∴A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴cos（A+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（A+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sinA=sin[（A+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（A+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（A+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$．
∴f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{3}{2}$，
∵x∈R，
∴f（x）$∈[-3，\frac{3}{2}]$…6分
（2）由（1）可知当sinx=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$或B=$\frac{5π}{6}$（舍去），
∴由正弦定理知：$\frac{BC}{sinA}=\frac{5}{sin\frac{π}{6}}$，可得BC=8，
∴sinC=sin（$π-\frac{π}{6}-A$）=sin（$\frac{5π}{6}-A$）=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sinC$=$\frac{1}{2}×5×8×\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$=6$+8\sqrt{3}$…12分

点评 本题值域考查了正弦定理，三角形面积公式，两角差的正弦函数公式的应用，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握定理和公式是解题的关键，属于基本知识的考查．