【题目】已知在四棱锥中,底面是边长为的正方形,是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点.
(Ⅰ)求证:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,若存在,求线段的长度;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)(Ⅲ)不存在,见解析
【解析】
(Ⅰ)正三角形中,由平面得到,所以得到面;(Ⅱ)以点为原点建立空间直角坐标系,根据平面的法向量,和平面的法向量,从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值,再得到所求的角;(Ⅲ)线段上存在满足题意的点,直线与平面法向量的夹角为,设,,利用向量的夹角公式,得到关于的方程,证明方程无解,从而得到不存在满足要求的点.
(Ⅰ)证明:因为△是正三角形,
是的中点,
所以 .
又因为平面,平面,
所以.
,平面,
所以面.
(Ⅱ)如图,以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则,
,,
设平面的法向量为
所以,即
令,则 ,
又平面的法向量,
设平面与平面所成锐二面角为,
所以.
所以平面与平面所成锐二面角为.
(Ⅲ)假设线段上存在点,
使得直线与平面所成角为,
即直线与平面法向量所成的角为,
设,,
,
所以
所以,
整理得,
,方程无解,
所以,不存在这样的点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在,实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)用样本估计总体,以频率作为概率,若在,两块试验地随机抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望;
(Ⅲ)填写下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
优质花苗 | 非优质花苗 | 合计 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合计 |
附:下面的临界值表仅供参考.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | <>0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中.)
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【题目】某公司在2019年新研发了一种设备,为测试其性能,从设备生产的流水线上随机抽取30件零件作为样本,测量其重量后,得到下表的相关数据.为了评判某台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其重量为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率):①;②;评判规则为:若同时满足上述两个不等式,则设备等级为;仅满足其中一个,则等级为;若全部不满足,则等级为.
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
重量/ | 18 | 19 | 21 | 22 | 23 | 24 | 26 | 28 | 29 | 30 |
件数/个 | 1 | 1 | 2 | 2 | 6 | 8 | 5 | 2 | 1 | 2 |
(1)试判断设备的性能等级;
(2)若或的零件认为是次品,其余为非次品.设30个样本中次品个数为,现需要从中取出全部次品和2件非次品形成个小样本,该公司从该小样本中机抽取2件零件,求取出的两件零件中恰有一件是次品的概率.
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【题目】设椭圆的右焦点为,右顶点为.已知,其中为原点, 为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程及离心率的值;
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若,且,求直线的斜率的取值范围.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差。
(i)若某用户从该企业购买了10件这种产品,记表示这10件产品中质量指标值位于(187.4,225.2)的产品件数,求;
(ii)一天内抽取的产品中,若出现了质量指标值在之外的产品,就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查下。下面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值,根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查。
附:,,,
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