Question

一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，如图1发现一个正三角形的岛屿（边长为

3

）；第二次观测时，如图2发现它每边中央

1

3

处还有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次观测时，如图3发现原先每一小边的中央

1

3

处又有一向外突出的正三角形海岬，把这个过程无限地继续下去，就得到著名的数学模型--柯克岛．
（1）把第1，2，3，…，n次观测到的岛的海岸线长记为a₁，a₂，a₃，…，a_n，试求a₁，a₂，a₃的值及a_n的表达式（n∈N^*）；
（2）把第1，2，3，…，n，…次观测到的岛的面积记为b₁，b₂，b₃，…，b_n，…，求bn(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前几项，可得规律：此n个图形的边长构成公比为

1

3

的等比数列，且它的边数构成公比为4的等比数列，由此结合等比数列的通项公式即可算出a_n（n∈N^*）的表达式；
（2）将此n个图形的第k（k∈N^*）个图形与第k+1个图形相重叠，可得第k+1个图形比第k个图形多出3×4^k-1个边长为

3

×（

1

3

）^k的正三角形，由此利用正三角形的面积公式、等比数列的求和公式和累加的方法，可得b_n的表达式．

解答：解：（1）由题意，可得
a1=3

3

，  a2=3

3

×

4

3

=4

3

，  a3=3

3

×(

4

3

)2=

16

3

3

…（3分）
∵第一个图形的边长为

3

，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的

1

3

，
∴第n个图形的边长为

3

(

1

3

)n-1；       …（5分）
∵第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，
∴第n个图形的边数为3×4^n-1．
因此，可得a_n的表达式为：an=3

3

(

4

3

)n-1．…（7分）
（2）∵b1=

3 3

4

，bn=bn-1+3×4n-2×

3

4

(

3

(

1

3

)n-1)2=bn-1+

3

4

(

4

9

)n-2，…（11分）
∴b2-b1=

3

4

×(

4

9

)0，b3-b2=

3

4

×(

4

9

)1，…，bn-bn-1=

3

4

×(

4

9

)n-2
累加并利用等比数列的求和公式可得
bn=b1+

3

4

[(

4

9

)0+(

4

9

)1+…+(

4

9

)n-3+(

4

9

)n-2]=

6

5

3

-

9 3

20

(

4

9

)n-1．…（14分）

点评：本题给出实际应用问题，求“柯克岛”的周长和面积．着重考查了等比数列的通项公式、求和公式和归纳推理的一般方法等知识，属于中档题．