Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h'（x）的图象如图，f（x）=61nx+h（x）

（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间（1，m+）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围。

Answer 1

解：（1）由已知，h'（x）=2ax+b，其图象为直线，且过（0，-8），（4，0）两点，
所以，h'（x）= 2x-8
则，解得
所以
所以

所以f'（3）=0，
即函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0。
（2）由（1）知
因为x>0
所以x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）的单调增区间为（0，1）和（3，+∞），单调减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间上是单调函数，
则，解得。
（3）由题意，-x≥f（x）在x∈（0，6]上恒成立
得
在x∈（0，6]上恒成立
即在x∈（0，6]上恒成立
设
则c≤g（x）_min

因为x>0，
所以当时，g '（x）>0，g（x）为增函数
当或x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数
所以g（x）的最小值为和g（6）中的较小者
因为


所以
又已知c＜3
所以c≤6-6ln6。