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【题目】已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点,且.

(Ⅰ)求抛物线的方程;

(Ⅱ)若点是半椭圆上一动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,求面积的取值范围.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)由抛物线准线与椭圆相交的弦长构建方程求得p值即可;

(Ⅱ)设点坐标为,由题意可知切线斜率不会为0,设出两条切线的直线方程,联立直线与抛物线方程,由相切关系构建方程,并由两切点分别得到是方程的两根,进而由韦达定理与直线和方程的关系可知的两点,再由点到直线的距离公式和弦长公式表示的底和高从而表示面积,最后换元求函数的最值即可.

(Ⅰ)由题可知,抛物线的准线为,则有

所以.

(Ⅱ)设点坐标为,且满足.

由题意可知切线斜率不会为0,即设切线

代入

可得①,

设切点,抛物线的上半部曲线函数关系式为,则

,将其代入①可得.

设切线,切点,同理可得.

由②③可知是方程的两根,所以

,所以代入②③可知的两点,即直线方程为.

又因为,所以.

,由二次函数性质可知,其在上单调递减,故

所以

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1)完成列联表,并判断能否有把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”?

有兴趣

没有兴趣

合计

20

15

合计

100

2)用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人,求抽取的男生和女生分别为多少人?若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员,求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.

附:,其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

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