Question

(本题满分15分)已知a∈R，函数f (x) =x³ + ax² + 2ax (x∈R)．     （Ⅰ）当a = 1时，求函数f (x)的单调递增区间；      （Ⅱ）函数f (x) 能否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不能，请说明理由；  （Ⅲ）若函数f (x)在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)(-1，2)；  (Ⅱ) -8 ≤ a ≤ 0．（Ⅲ）a ≥ 1

(Ⅰ) 当a = 1时，f (x) = x³ + x² + 2x，   ∴ f' (x) = -x² + x + 2，
令f' (x) > 0，即-x² + x + 2 > 0， 解得-1 <x< 2，∴函数f (x)的单调递增区间是(-1，2)； 
(Ⅱ) 若函数f (x)在R上单调递减，则f' (x) ≤ 0对x∈R都成立，                 
即-x² + ax + 2a ≤ 0对x∈R都成立，即x² -ax-2a ≥ 0对x∈R都成立． 
∴ △ = a² + 8a ≤ 0，  解得-8 ≤ a ≤ 0．
∴当-8 ≤ a ≤ 0时，函数f (x)能在R上单调递减；
(Ⅲ) 解法一：∵函数f (x)在[-1，1]上单调递增，
∴f ' (x) ≥ 0对x∈[-1，1]都成立，∴-x² + ax + 2a ≥ 0对x∈[-1，1]都成立．
∴a(x + 2) ≥ x²对x∈[-1，1]都成立，   即a ≥ 对x∈[-1，1]都成立．
令g(x) =，则g' (x) = 。
当-1 ≤ x < 0时，g' (x) < 0；当0 ≤ x < 1时，g' (x) > 0．
∴g(x)在[-1，0]上单调递减,在[0，1]上单调递增．
∵g(-1) = 1，g(1) =，∴g(x)在[-1，1]上的最大值是g(-1) = 1，∴a ≥ 1．
解法二：∵函数f (x)在[-1，1]上单调递增，
∴f ' (x) ≥ 0对x∈[-1，1]都成立，∴-x² + ax + 2a ≥ 0对x∈[-1，1]都成立．
即x² -ax - 2a ≤ 0对x∈[-1，1]都成立．  12分
令g(x) = x² -ax -2a，则，
解得，∴a ≥ 1．      15分