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已知椭圆的中心在原点,焦点与双曲线
x2
10
-
y2
5
=1
的焦点相同,且经过点M(4,1);直线l:y=x+m交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线l不过点M,试问直线AM,BN与x轴是否能构成一个等腰三角形?请说明理由.
考点:直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题:向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(1)椭圆方程为
x2
15+λ
+
y2
λ
=1(λ>0),待定系数法求解,(2)解方程组
y=x+m
x2
20
+
y2
5
=1
,得5x2+8mx+4m2-20=0,利用韦达定理求解,k1+k2=
(y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1)
(x1-4)(x2-4)
=0即可证明.
解答: 解:(1)以题意可知,椭圆中的半焦距c2=10+5=15,
设椭圆方程为
x2
15+λ
+
y2
λ
=1(λ>0)
∵过点M(4,1),
16
16+λ
+
1
λ
=1,∴λ=5或λ=-3(舍去)
x2
20
+
y2
5
=1
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
解方程组
y=x+m
x2
20
+
y2
5
=1
,得5x2+8mx+4m2-20=0
x1+x2=-
8m
5
,x1x2=
4m2-20
5

设直线MA.MB的斜率分别为k1,k2
则k1=
y1-1
x1-4
,k2=
y2-1
x2-4
,k1+k2=
(y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1)
(x1-4)(x2-4)

∵(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)=0,
∴k1+k2=0,
∴直线AM,BN与x轴能构成一个等腰三角形
点评:本考查了直线与椭圆的位置关系,结合方程求解,运用韦达定理判断,属于中档题.
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1
2
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A、
3
B、
π
3
C、
π
6
D、
π
4

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1
x
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OP
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OD
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a+lnx
x
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2
3
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1
x1
-
1
x2
|,求实数k的取值范围.

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