Question

已知椭圆的中心在原点，焦点与双曲线

x2

10

-

y2

5

=1的焦点相同，且经过点M（4，1）；直线l：y=x+m交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l不过点M，试问直线AM，BN与x轴是否能构成一个等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）椭圆方程为

x2

15+λ

+

y2

λ

=1（λ＞0），待定系数法求解，（2）解方程组

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

，得5x²+8mx+4m²-20=0，利用韦达定理求解，k₁+k₂=

(y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1)

(x1-4)(x2-4)

=0即可证明．

解答： 解：（1）以题意可知，椭圆中的半焦距c²=10+5=15，
设椭圆方程为

x2

15+λ

+

y2

λ

=1（λ＞0）
∵过点M（4，1），
∴

16

16+λ

+

1

λ

=1，∴λ=5或λ=-3（舍去）
∴

x2

20

+

y2

5

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解方程组

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

，得5x²+8mx+4m²-20=0
x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

设直线MA．MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁=

y1-1

x1-4

，k₂=

y2-1

x2-4

，k₁+k₂=

(y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1)

(x1-4)(x2-4)

∵（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=0，
∴k₁+k₂=0，
∴直线AM，BN与x轴能构成一个等腰三角形

点评：本考查了直线与椭圆的位置关系，结合方程求解，运用韦达定理判断，属于中档题．