Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y²=4x交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：

OA

⊥

OB

；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：即y=x-4．
由得x²-12x+16=0．
∴x₁x₂=16，x₁+x₂=12
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0   故

OA

⊥

OB

．
（Ⅱ）由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，
代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即

y 21

4

+

y 22

4

+y1y2=m²-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．
∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
设弦AB的中点为M（x，y）  则x=（x₁+x₂），y=（ y₁+y₂），
x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，
∴弦AB的中点M的轨迹方程为：
消去k得：y²=2x-8．
∴圆心的轨迹方程为y²=2x-8．