Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．
（Ⅰ）求证：DD1⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1；
（Ⅲ）若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，

所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD．

因为AD∩CD=D，

所以DD1⊥平面ABCD．

（Ⅱ）证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，

所以BE⊥AD．

因为DD1⊥平面ABCD，

而BE平面ABCD，

所以BE⊥DD1．

因为AD∩DD1=D，

所以BE⊥平面ADD1A1．

因为BE平面A1BE，

所以平面A1BE⊥平面ADD1A1．

（Ⅲ）解：因为BC∥AD，F为A1D1的中点，

所以BC∥A1F．

所以B、C、F、A1四点共面．

因为CF∥平面A1BE，

而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B，

所以CF∥A1B．

所以四边形BCFA1是平行四边形．

所以

【解析】（Ⅰ）证明DD1⊥AD，且DD1⊥CD，即可证明：DD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）证明BE⊥平面ADD1A1．即可证明：平面A1BE⊥平面ADD1A1；（Ⅲ）证明四边形BCFA1是平行四边形，求棱BC的长度．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．