Question

设f（x）=lnx，g（x）=f′（x）+lnx
（1）求g（x）的单调区间和最小值．　
（2）讨论g（x）与的大小关系．
（3）是否存在x₀＞0，使得对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解（1）由题意可知：
∴
令g′（x）=0得x=1
∵0＜x＜1g′（x）＜0x＞1，g′（x）＞0
∴x=1是g（x）的唯一极小值点
∴最小值为g（1）=1
（2）
设
则
当x=1时 F（1）=0即
当0＜x＜1时 F¹（x）＜0F（1）=0
∴
即
当x＞1时 F¹（x）＜0F（1）=0
∴
即
（3）假设?x₀＞0，使对?x＞0
成立即
取
则lnx=g（x₀）
这与lnx＜g（x₀）矛盾
因此不存在x₀＞0，使对任意x＞0成立．
分析：（1）通过函数的导数，求出函数的极值点，然后推出g（x）的单调区间和最小值．
（2）构造函数，通过函数的导数，对x分类讨论，推出g（x）与的大小关系．
（3）利用反证法，设存在x₀＞0，使得对任意x＞0成立，导出矛盾结论，说明不存在满足题意的值．
点评：本题考查函数的导数判断函数的单调性，利用函数的最值判断函数值的大小，反证法证明存在性问题的方法，考查逻辑推理能力与计算能力．