Question

18．无穷等比数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和是S_n，且$\lim_{n→∞}{S_n}=\frac{1}{2}$，则首项a₁的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 根据所给的前n项和的极限的值，做出首项和公比之间的关系，根据公比的范围，得到首项的范围，解不等式即可．

解答 解：设无穷等比数列{a_n}的公比为q，|q|＜1且q≠0，
由$\lim_{n→∞}{S_n}=\frac{1}{2}$，
又无穷等比数列的求和公式$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，
即q=1-2a₁，
即有|1-2a₁|＜1且|1-2a₁|≠0，
解得a₁∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了无穷等比数列的前n项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题，本题解题的关键是运用无穷等比数列的求和公式来解题．