Question

7．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式$\frac{f（x）+2f（-x）}{x}$＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．

解答 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，且f（-2）=f（2）=0，
作出函数f（x）的草图如图：
∵f（x）是奇函数，∴不等式等价为$\frac{f（x）-2f（x）}{x}=\frac{-f（x）}{x}＜0$，即$\frac{f（x）}{x}$＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
则0＜x＜2或-2＜x＜0，
故不等式$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}$＞0的解集是（-2，0）∪（0，2），
故选：C．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．