精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
7.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式$\frac{f(x)+2f(-x)}{x}$<0的解集为(  )
A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.

解答 解:∵奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,
∴函数f(x)在(-∞,0)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0,
作出函数f(x)的草图如图:
∵f(x)是奇函数,∴不等式等价为$\frac{f(x)-2f(x)}{x}=\frac{-f(x)}{x}<0$,即$\frac{f(x)}{x}$>0,
即$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{f(x)>0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{f(x)<0}\end{array}\right.$,
则0<x<2或-2<x<0,
故不等式$\frac{{f(x)-f({-x})}}{x}$>0的解集是(-2,0)∪(0,2),
故选:C.

点评 本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系,利用数形结合是解决本题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a≠0)在[1,3]有最大值5和最小值2,求a、b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若PA=4,AB=6,∠ABC=30°.
①求AC与PB所成角的正切值;
②求直线AC与平面PCB所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

15.若图中,PA切⊙O于点A,PCB交⊙O于C、B两点,且PCB过点O,AE⊥BP交⊙O于E,则图中与∠CAP相等的角的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

2.给出下列命题:
①函数$f(x)=4cos(2x+\frac{π}{3})$的一个对称中心为$(-\frac{5}{12}π,0)$
②已知:f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的值域为$[-1,\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
③若α,β均为第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ
④若${(\frac{1}{2})^a}={(\frac{1}{3})^b}$,则a>b>0
⑤定义域为R的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x+2)=2,则其图象关于点(1,1)对称
其中正确命题的序号是①②⑤(写出所有正确命题的序号)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知函数f(x)=lnx-$\frac{1}{2}$ax2+x,a∈R.
(1)若函数f(x)有极值,求a的取值范围;
(2)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值;
(3)是否存在x0>0,使得|f(x)+$\frac{1}{2}{ax}^{2}$-f(x0)|<x对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知函数f(x)=log3x,x∈[3,27],g(x)=f2(x)-2m•f(x)+3的最小值为h(m).
(1)求h(m);
(2)是否存在实数a,b,同时满足下列条件:
①b<a<1
②当h(m)的定义域为[b,a]时,值域为[b2,a2],若存在,求出a和b的值;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.函数y=loga(1-ax)在区间[1,2]单调增,则a的取值范围是(0,$\frac{1}{2}$).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

15.已知一个正四面体纸盒的棱长为$2\sqrt{6}$,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为(  )
A.1B.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

查看答案和解析>>

同步练习册答案