Question

（理科）已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（Ⅰ）试证明|1+b|≤M；
（Ⅱ）试证明；
（Ⅲ）当时，试求出f（x）的解析式．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|
∴2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|
∴M≥|1+b|
（Ⅱ）证明：依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|
又|f（-1）|=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|
∴4M≥|f（-1）|+|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2
∴
（Ⅲ）解：依时，，①同理②③
②+③得：④由①、④得：．
当时，分别代入②、③得：，因此．
分析：（Ⅰ）由题设条件知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M，故必有M≥|f（-1）|与M≥|f（1）|，两式相加再结合不等式的性质即可证明结论；
（II）由题意M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，可先得出4M＞3M=|f（-1）|+f（0）|+|f（1）|≥2，即可证明出结论；
（III）当时，可得出，，①同理②③由这几个不等式解出a，b，c的取值范围，判断出它们的值，即可求出函数的解析式
点评：本题考查不等式的证明与函数最值的应用，综合性较强，解答本题关键是理解题意构造出不等式，再由不等式的性质进行变形证明出结论，本题中前两个小题需要先利用最值得出不等式，再由所得的不等式进行组合构造出可以证明出结论的形式，此两题对观察能力要求较高，第三小题也是一个能力型的题，通过最值得出参数所满足的不等式，综合利用这几个不等式作出判断得出参数的值，利用不等式求值要注意由等价得出a=b，这是利用不等式求值的基础，本题考查了转化的思想，