Question

设函数f（x）=|x-m|-mx，其中m为常数且m＜0．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）试探求f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）＜0转化为|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，再对参数m分类讨论解不等式．
（2）函数可变为f（x）=

(1-m)x-m，x≥m -(1+m)x+m，x＜m

，运用单调性据函数的形式判断出-（1-m）≤0，结合m＜0得出答案．

解答：解：（1）由f（x）＜0得，|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，
即

(1-m)x＜m (1+m)x＞m

．
①当m=-1时，

2x＜-1 0＞-1

?x＜-

1

2

；
②当-1＜m＜0时，

x＜ m 1-m x＞ m 1+m

?

m

1+m

＜x＜

m

1-m

；
③当m＜-1时，

x＜ m 1-m x＜ m 1+m

?x＜

m

1-m

；
综上所述，当m＜-1时，不等式解集为{x|x＜

m

1-m

}；
当m=-1时，不等式解集为{x|x＜-

1

2

}；
当-1＜m＜0时，不等式解集为{x|

m

1+m

＜x＜

m

1-m

}．
（2）f（x）=

(1-m)x-m，x≥m -(1+m)x+m，x＜m

，
∵m＜0，∴1-m＞0，f（x）在[m，+∞）上单调递增，要使函数f（x）存在最小值，
则f（x）在（-∞，m）上是减函数或常数，
∴-（1+m）≤0即m≥-1，又m＜0，
∴-1≤m＜0．
故f（x）存在最小值的充要条件是-1≤m＜0，且f（x）_min=f（m）=-m²．

点评：本题考查解不等式，分类讨论的思想，在（2）中要根据函数的形式判断出函数中参数的取值范围．难度较高．