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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),经过点(3,-2)与向量(-1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又
AM
=2
MB

(Ⅰ)求椭圆C长轴长的取值范围;
(Ⅱ)若|
AB
|=
3
2
2
,求椭圆C的方程.
(I)设直线l与椭圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,和x轴交于M(1,0)点.
AM
=2
MB
,知y1=-2y2
将x=1-y代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得(a2+b2)y2-2b2y+b2(1-a2)=0,①
由韦达定理,知
y1+y2=
2b2
a2+b2
=-y2,②
y1y2=
b2(1-a2)
a2+b2
=-2y22,③

2
得b2=
a2(1-a2)
a2-9
,④
对方程①由△=4b4-4b2(a2+b2)(1-a2)>0,得a2+b2>1.⑤
将④代入⑤,得a2+
a2(1-a2)
a2-9
>1
,解得1<a2<9,
又由a>b及④,得a2<5,∴1<a2<5,∴1<a<
5

∴所求椭圆长轴长的取值范围是(2,2
5
).
(II)由(I)中②③得,
|AB|=
2
|y1-y2|=
2
(y1+y2)2-4y1y2

=
2
2
ab
a2+b2-1
a2+b2

∵|
AB
|=
3
2
2
,∴
2
2
ab
a2+b2-1
a2+b2
=
3
2
2
,⑥
联立④⑥,解得a2=3,b2=1,
∴椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,长轴长等于12,离心率为
1
3

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆上任取一点P,过P点做y轴垂线段PQ,Q为垂足,当P在椭圆上运动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:x2=2py过点P(1,
1
2
)
,直线l交C于A,B两点,过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M,N.
(1)求p的值;
(2)是否存在定点Q,当直线l过点Q时,△PAM与△PBN的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y-2=0上
(1)求椭圆C的方程;
(2)当直线l:y=x+m与椭圆C相交时,求m的取值范围;
(3)设直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,若以为AB直径的圆过原点,求m的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点F的距离为
17
4

(1)求P与m的值;
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P,Q两点,且|PQ|=5,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0
(1)设动点P满足(
PF
+
PB
)(
PF
-
PB
)=13
,求点P的轨迹方程;
(2)设x1=2,x2=
1
3
,求点T的坐标;
(3)若点T在点P的轨迹上运动,问直线MN是否经过x轴上的一定点,若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点(A在M、B之间).
(1)F为抛物线C的焦点,若|AM|=
5
4
|AF|,求k的值;
(2)如果抛物线C上总存在点Q,使得QA⊥QB,试求k的取值范围.

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已知点M(-1,0),N(1,0),动点P(x,y)满足:|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN

(1)求P的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点,并且曲线C存在点Q,使四边形OAQB为平行四边形?若存在,求出平行四边形OAQB的面积;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
过点(
3
2
2
)
,它的离心率为
6
2
,P、Q分别在双曲线的两条渐近线上,M是线段PQ中点,|PQ|=2
2

(Ⅰ)求双曲线及其渐近线方程;
(Ⅱ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅲ)过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B,F2为C的右焦点,求△ABF2面积最大时
F2A
F2B
的值.

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