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若函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上无实数根,则函数g(x)=(a-
1
5
)(x3-3x+4)的单调递减区间是(  )
A、(-2,2)
B、(-1,1)
C、(-∞,-1)
D、(-∞,-1),(1,+∞)
分析:由已知中函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上无实数根,由函数零点与方程根的关键,结合零点存在定理,构造关于a的不等式,求出a的取值范围,进而判断出函数g(x)=(a-
1
5
)(x3-3x+4)的单调性.
解答:解:函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上无实数根
则f(-1)•f(1)>0
即(-5a+1)•(a+1)>0
解得-1<a<
1
5

则a-
1
5
<0,
则函数g(x)=(a-
1
5
)(x3-3x+4)的单调性,与y=x3-3x+4的单调性相反
∵y′=3x2-3,则当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时,y=x3-3x+4为增函数
则函数g(x)=(a-
1
5
)(x3-3x+4)的单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞)
故选D
点评:本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,函数单调性的性质,其中根据函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上无实数根,结合零点存在定理,构造关于a的不等式,求出a的取值范围,是解答本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题:
①函数y=
x-1
x+1
的单调区间是(-∞,-1)∪(-1,+∞).
②函数f(x)=|x|•(|x|+|2-x|)-1有2个零点.
③已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=
1
2
x垂直的切线,则实数m的取值范围是m>2.
④若函数f(x)=
(3a-1)x+4a(x<1)
logax    (x≥1)
对任意的x1≠x2都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
<0
,则实数a的取值范围是(-
1
7
,1].
其中正确命题的序号为
②③
②③

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=ln(x2-2ax+3)的值域为R,则实数a的取值范围为
a≥
3
或a≤-
3
a≥
3
或a≤-
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法:
①函数y=
x-1
x+1
图象的对称中心是(1,1);
②“x>2是x2-3x+2>0”的充分不必要条件;
③对任意两实数m,n,定义定点“*”如下:m*n=
m  若m≤n
n  若m>n
,则函数f(x)=log
1
2
(3x-2)*log2x
的值域为(-∞,0];
④若函数f(x)=
(3a-1)x+4a(x<1)
logax      (x≥1)
对任意的x1≠x2都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
<0
,则实数a的取值范围是(-
1
7
,1],
其中正确命题的序号为
②③
②③

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=logax在区间[a,3a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
x
4
+ln
x-2
x-4

(1)求函数f(x)的定义域和极值;
(2)若函数f(x)在区间[a2-5a,8-3a]上为增函数,求实数a的取值范围;
(3)函数f(x)的图象是否为中心对称图形?若是请指出对称中心,并证明;若不是,请说明理由.

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