Question

如图所示，已知圆O：x²+y²=1，直线l：y=kx+b（b＞0）是圆的一条切线，且l与椭圆

x2

2

+y2=1交于不同的两点A、B．
（1）若△AOB的面积等于

2

3

，求直线l的方程；
（2）设△AOB的面积为S，且满足

6

4

≤S≤

2 6

7

，求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：解：（1）由三角形的面积公式，要分别求底即弦长，要求高即点到直线的距离．（2）由（1）知△AOB的面积模型，即有

6

4

≤

1

2

×

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

×

|b|

1+k2

≤

2

7

6

可得

1

2

≤k2≤3而设A（x₁，y₁），B（x₂，y_2）

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2由韦达定理，转化为关系k²的函数求解．

解答：解：（1）由题意可知：

|b|

1+k2

=1∴b=

1+k2

（1分）
又

y=kx+b x2+2y2-2=0

得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0（2分）∴|AB|=

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

（3分）
而O到直线AB的距离为

|b|

1+k2

=1（4分）
则有

1

2

×

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

×

|b|

1+k2

=

2

3

得k=±1（15分）
所求直线的方程为x-y+

2

=0或x+y-

2

=0．（6分）
（2）由题意可知

6

4

≤

1

2

×

1+k2

×

2 2 |k|

1+2k2

×

|b|

1+k2

≤

2

7

6

得

1

2

≤k2≤3（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b（10分）
根据韦达定理得：x1+x2=-

4kb

1+2k2

•x1x2=

2b2-2

1+2k2

代入上式得：

OA

•

OB

=

1+k2

1+2k2

∴

4

7

≤

OA

•

OB

≤

3

4

．（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离以及建立函数模型的能力．