Question

5．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a-b=ccosB-ccosA，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosA与cosB，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状．

解答 解：将cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$代入已知等式得：
a-b=c$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
整理得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$，
当a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²时，△ABC为直角三角形；
当a²+b²-c²≠0时，得到a=b，△ABC为等腰三角形，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形．

点评 此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．