Question

已知用户甲的电脑被某黑客乙入侵．黑客乙为了窃取甲的某重要帐户的用户名和密码，在甲的电脑中植入了如右程序框图所示的电脑程序，在甲每次登陆其重要帐户之前，电脑先执行此程序，让甲输入其用户名a，密码d和一个随机的验证码k（a、d、k均为正实数），因为甲的用户名和密码受到保护，所以乙每次只能看到验证码k和输出结果S．某一天甲登陆了两次其重要帐户，乙看当到k=2时S=

1

3

，k=5时S=

4

9

．
（Ⅰ）乙能否由此信息确定甲重要帐户的用户名和密码？若能确定，请求出a和d的值；若不能确定，请说明道理．
（Ⅱ）现记输入的a值为a₁，在程序运行的过程中，以后变量a取到的值分别记为a₂，a₃…，这样得到一个数列{a_n}，记数列{a_n}的前n项和为Q_n，b_n=2ⁿQ_n，，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）乙能由此信息确定甲重要帐户的用户名和密码，通过已知条件，列出

a1(a1+d)=3 a1(a1+4d)=9

，求出a和d的值．
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出b_n=2ⁿQ_n的表达式，利用两次错位相减法，求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）能确定，记输入的a值为a₁，在程序运行的过程中，以后变量a取到的值分别记为a₂，a₃…，
这样得到一个数列{a_n}
当K=2时，S=

1

a1a2

=

1

3

；
当K=3时，S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+

1

a4a5

=

4

9

，
即

1

d

 (

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-…+

1

a4

-

1

a5

)=

4

9

，
由

1 a1a2 = 1 3 1 d ( 1 a1 - 1 a5 )= 4 9

，得

a1(a1+d)=3 a1(a1+4d)=9

，所以

a1=1 d=2

，即a=1，d=2（6分）
（Ⅱ）由（I）得Q_n=n²，n∈N^*，因此b_n=2ⁿ•n²，则
T_n=2•1+2²•2²+2³•3²+…+2ⁿ•n²，…①
2T_n=2²•1+2³•2²+2⁴•3²+…+2ⁿ⁺¹•n²，…②
①-②得-T_n=2•1+2²•（2²-1²）+2³•（3²-2²）+…+2ⁿ•[n²-（n-1）²]-2ⁿ⁺¹•n²，
不妨设M_n=2•1+2²•3+2³•5+…+2ⁿ•（2n-1），再利用错位想减可得
M_n=2ⁿ⁺¹•（2n-1）-2ⁿ⁺²+6，
所以-T_n=2ⁿ⁺¹•（2n-1）-2ⁿ⁺²+6-2ⁿ⁺¹•n²，
T_n=2ⁿ⁺¹•（n-1）²+2ⁿ⁺²-6．（14分）

点评：本题通过循环结构，考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．