Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2

2

，
（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE?平面BDE，PA?平面BDE，满足定理所需条件；
（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；
（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．

解答：解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，
因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，又有题设，
E为PC的中点，故EH∥PA，
又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以PD⊥AC
由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，
故AC⊥平面PBD
（3）由AC⊥平面PBD可知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2

2

，可得DH=CH=

2

2

，BH=

3 2

2

在Rt△BHC中，tan∠CBH=

CH

BH

=

1

3

，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为

1

3

．

点评：本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．