Question

【题目】直线与椭圆交于，两点，已知 ， ，若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值1.

【解析】

（1）将点代入椭圆方程，结合双曲线的离心率列方程，求得的值，即求得椭圆方程.（2）当直线斜率不存在时，求得三角形的面积为定值.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，代入，化简.然后通过计算三角形的面积，由此判断三角形的面积为定值.

（1）∵ ∴

∴椭圆的方程为

（2）①当直线斜率不存在时，即，

由已知 ，得

又在椭圆上， 所以

,三角形的面积为定值．

②当直线斜率存在时：设的方程为

必须 即得到，

∵，∴

代入整理得：

所以三角形的面积为定值．