[题目]直线与椭圆交于.两点.已知 . .若椭圆的离心率.又经过点.为坐标原点．(1)求椭圆的方程,(2)当时,试问:的面积是否为定值?如果是.请给予证明,如果不是.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】直线与椭圆交于，两点，已知，，若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）定值1.

【解析】

（1）将点代入椭圆方程，结合双曲线的离心率列方程，求得的值，即求得椭圆方程.（2）当直线斜率不存在时，求得三角形的面积为定值.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，代入，化简.然后通过计算三角形的面积，由此判断三角形的面积为定值.

（1）∵ ∴

∴椭圆的方程为

（2）①当直线斜率不存在时，即，

由已知，得

又在椭圆上，所以

,三角形的面积为定值．

②当直线斜率存在时：设的方程为

必须即得到，

∵，∴

代入整理得：

所以三角形的面积为定值．

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