Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R． （Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．
（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0），

则 ，令f'（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．

故当x=1时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，所以f（x）max=f（1）=0，

所以，f（x）≤0，得证．

（II）原题即对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使 成立，

只需 ．（5分）

设 ，则 ，

令u（t）=t﹣1﹣lnt，则 对于t≥e恒成立，

所以u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，

于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即 对于t≥e恒成立，

所以 为[e，+∞）上的增函数，则 ．（8分）

令p（x）=﹣f（x）﹣a，则p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax，

当a≥0时，p（x）=﹣lnx﹣ax为（0，+∞）的减函数，且其值域为R，符合题意．

当a＜0时， ，由p'（x）=0得 ，

由p'（x）＞0得 ，则p（x）在 上为增函数；

由p'（x）＜0得 ，则p（x）在 上为减函数，

所以 ，

从而由 ，解得 ．

综上所述，a的取值范围是 ．

【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的最大值，证明结论即可；

（Ⅱ）问题转化为证明 ，设 ，根据函数的单调性求出a的范围即可．

【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．