Question

已知定义在R上的偶函数f（x），当x≤0时，f（x）=3e^-x．
（1）求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）求最大整数m（m＞1），使得存在实数t，对任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤3ex．

Answer 1

分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）先假设当x∈[1，m]时，存在t∈R，有f（x+t）≤3ex，则有f（1+t）≤3e，下面要选择解析式，所以要分1+t≥0时和1+t≤0时两种情况得t的范围，同样地，有f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em转化为 et≤

em

em

由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解，只要求得e^t在[-2，0]上的最小值可即可．

解答：解：（1）当x＜0时，∵-x＞0∴f（x）=f（-x）=3e^-x
综上，f(x)=

3exx≥0 3e-xx＜0

k=f′（x）=3e，切线y=3ex．
（2）当x∈[1，m]时，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e
当1+t≥0时，3e^1+t≤3e即e^1+t≤e，1+t≤1，∵-1≤t≤0
当1+t≤0时，同理，-2≤t≤-1，∴-2≤t≤0
同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em∴et≤

em

em

由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵e^t在[-2，0]上的最小值为e^-2，∵e-2≤

em

em

，即e^m-e³m≤0①
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞）．
则g'（x）=e^x-e³由g'（x）=0得x=3
当2≤x＜3时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x＞3时，g'（x）＞0，g（x）是增函数
∴g（x）的最小值是g（3）=e³-3e³=-2e³＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5）．
当2≤x≤m₀时，g（x）≤0，当x＞m₀时，g（x）＞0∴在x∈[2，+∞）时满足不等式①的最大实数解为m₀
当t=-2，x∈[1，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e（e^|x-2|-1-x），在x∈[1，2）时，∵e^|x-2|-1=e^1-x≤1∴f（x-2）-3ex≤0，在x∈[2，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e(ex-3-x)=

3

e2

g(x)≤0
综上所述，m最大整数为4．

点评：本题主要考查利用奇偶性来求对称区间上的解析式和应用单调性来解决恒成立问题．这类问题综合性较强，涉及的知识和方法较多，思路比较繁杂，解题时必须严格按照逻辑步骤，层层解决．