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1.已知函数f(x)=$\frac{{1+\sqrt{2}cos(2x-\frac{π}{4})}}{{sin(x+\frac{π}{2})}}$.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若角α是第四象限角,且cosα=$\frac{3}{5}$,求f(α).

分析 (1)由函数的解析式可得sin(x+$\frac{π}{2}$)≠0,可得 x+$\frac{π}{2}$≠kπ,k∈z,由此求得x的范围,可得函数的定义域.
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α和cos2α的值,再利用两角差的余弦公式求得f(α)的值.

解答 解:(1)对于函数f(x)=$\frac{{1+\sqrt{2}cos(2x-\frac{π}{4})}}{{sin(x+\frac{π}{2})}}$,显然,sin(x+$\frac{π}{2}$)≠0,∴x+$\frac{π}{2}$≠kπ,k∈z,
求得x≠kπ-$\frac{π}{2}$,k∈z,故函数的定义域为[x|x≠kπ-$\frac{π}{2}$,k∈z }.
(2)∵角α是第四象限角,且cosα=$\frac{3}{5}$,∴sinα=-$\frac{4}{5}$,∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$,cos2α=2cos2α-1=-$\frac{7}{25}$,
则 f(α)=$\frac{1+\sqrt{2}cos(2α-\frac{π}{4})}{sin(α+\frac{π}{2})}$=$\frac{1+\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cos2α+\frac{\sqrt{2}}{2}sin2α)}{cosα}$=$\frac{1+cos2α+sin2α}{cosα}$=$\frac{1-\frac{7}{25}-\frac{24}{25}}{\frac{3}{5}}$=-$\frac{2}{5}$.

点评 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式,属于基础题.

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