Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}}{{sin（x+\frac{π}{2}）}}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若角α是第四象限角，且cosα=$\frac{3}{5}$，求f（α）．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式可得sin（x+$\frac{π}{2}$）≠0，可得 x+$\frac{π}{2}$≠kπ，k∈z，由此求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α和cos2α的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\frac{{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}}{{sin（x+\frac{π}{2}）}}$，显然，sin（x+$\frac{π}{2}$）≠0，∴x+$\frac{π}{2}$≠kπ，k∈z，
求得x≠kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，故函数的定义域为[x|x≠kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z }．
（2）∵角α是第四象限角，且cosα=$\frac{3}{5}$，∴sinα=-$\frac{4}{5}$，∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$，
则 f（α）=$\frac{1+\sqrt{2}cos（2α-\frac{π}{4}）}{sin（α+\frac{π}{2}）}$=$\frac{1+\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cos2α+\frac{\sqrt{2}}{2}sin2α）}{cosα}$=$\frac{1+cos2α+sin2α}{cosα}$=$\frac{1-\frac{7}{25}-\frac{24}{25}}{\frac{3}{5}}$=-$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，属于基础题．