Question

已知斜率为1的直线l与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x﹣y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

Answer 1

解：（1）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线，
并化简得：（b²﹣a²）x²﹣4a²x﹣4a²﹣a²b²=0，（*）
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则，，
由M（1，3）为BD的中点，知，
故，即b²=3a²．故c=2a，∴e=2．
（2）双曲线的左、右焦点为F₁（﹣3，0），F₂（3，0），
点F₁关于直线g：x﹣y+9=0  ①的对称点F的坐标为（﹣9，6），
直线FF₂的方程为x+2y﹣3=0， ②
解方程组①②得：交点M（﹣5，4），
此时|MF₁|+|MF₂|最小，
所求椭圆的长轴，
∴a=3，
∵c=3，
∴b²=36，
故所求椭圆的方程为．