Question

2．一个三角形数表的前5行如图，第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）．

（1）求a₆；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式（不用证明），并求出{a_n}（n≥2）的通项公式．

Answer 1

分析 （1）a₆=5+11=16；
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．

解答 解：（1）a₆=5+11=16．…（2分）
（2）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2）．…（5分）
∴a_n+1-a_n=n（n≥2），…（6分）
当n≥2时，a_n-a_n-1=n-1，
…，
a₃-a₂=2，…（7分）
将上面n-2个等式相加得a_n-a₂=$\frac{（n-2）（n+1）}{2}$…（9分）
因为a₂=2…（11分）
所以a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$（n≥2）．…（12分）

点评 本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题．