Question

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^n（1-n）．
①求a₁；
②求证：数列{a_n}是等比数列；
③是否存在常数a，使得（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）对n∈N⁺都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由“数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^{n（1-n）”}令n=1可求解．
（2）证明：由T_n=2^n（1-n）解得T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}两式相除，整理可得数列{a_n}是等比数列；
（3）由（2）求解得sn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

-

4( 1 4 )n

3

再求得sn+1=

4

3

-

4( 1 4 )n+1

3

，sn+2=

4

3

-

4( 1 4 )n+2

3

代入（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）两端验证可即可．

解答：解：（1）∵数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^n（1-n）．
∴a₁=T₁=2^1（1-1）=1
（2）证明：∵T_n=2^n（1-n）．
∴T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}．
将上面两式相除，
得：a_n=2^{[-2（n-1）]}．
∴a_n=

1

4

^（n-1）．
∵a_n+1=

1

4

^（n）．

an+1

an

=

1

4

∴数列{a_n}是等比数列；

（3）∵sn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

-

4( 1 4 )n

3

∴sn+1=

4

3

-

4( 1 4 )n+1

3

，sn+2=

4

3

-

4( 1 4 )n+2

3

∵（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）
∴（S_n+1-a）²=

16[( 1 4 )(2n+2)]

9

而：（S_n+2-a）（S_n-a）=（S_n+2-

4

3

）（S_n-

4

3

）=

16[( 1 4 )(2n+2)]

9

（S_n+1-

4

3

）²=（S_n+2-

4

3

）（S_n-

4

3

）对n∈N⁺都成立
即：存在常数a=

4

3

，使（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）对n∈N⁺都成立．

点评：本题主要考查数列的类型和数列的通项公式和前n项和公式，还考查了存在性问题，这类问题一般通过具体的探究出来，再证明．