Question

【题目】已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ） 设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式讲函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求函数最值以及对应x的值（2）先根据f（C）=﹣得cos（2C+）=﹣，解得C=．再根据三角形内角关系以及诱导公式求sinA的值．

试题解析：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x﹣sin2x ）

=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），

故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为 {x|x=kπ﹣，k∈Z}．

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，

∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．

∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．