Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n}满足a₁=-1，且

Sn

n

=2×

an

n

+1，（其中S_n为{a_n}的前n项和）．则f（a₅）+f（a₆）=（　　）

A．-3

B．-2

C．3

D．2

Answer 1

分析：先由函数f（x）是奇函数，f（

3

2

-x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63计算即可．

解答：解：∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f（

3

2

-x）=f（x），
∴f（

3

2

-x）=-f（-x）
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{a_n}满足a₁=-1，且

Sn

n

=2×

an

n

+1，
∴a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选C．

点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．