Question

（1）求过点P（-1，2）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于

1

2

的直线方程；
（2）求圆心在y轴上且经过点M（-2，3），N（2，1）的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设直线方程为

x

a

+

y

b

=1  (a＞0， b＞0)，由点P（-1，2）在直线上，知2a-b=ab，由

1

2

ab=

1

2

，知ab=1，由此能求出直线方程．
（2）由圆心C在线段MN的中垂线上，kMN=

3-1

-2-2

=-

1

2

，MN的中点是（0，2），知MN的中垂线方程是y=2x+2，由此能求出圆的方程．

解答：解：（1）由题意设直线方程为

x

a

+

y

b

=1  (a＞0， b＞0)…（1分）
∵点P（-1，2）在直线上，
∴

-1

a

+

2

b

=1，
则2a-b=ab…（2分）
又∵

1

2

ab=

1

2

，
则ab=1…（3分）
∴

2a-b=1 ab=1

，
消去b整理得2a²-a-1=0，
解得a=1或a=-

1

2

（舍去）…（5分）
由ab=1解得b=1，
故所求直线方程是x+y=1…（6分）
（2）由题意圆心C在线段MN的中垂线上…（7分）
∵kMN=

3-1

-2-2

=-

1

2

，
MN的中点是（0，2）…（8分）
∴MN的中垂线方程是y=2x+2…（9分）
令x=0则y=2，
圆心C（0，2），
半径r=

(2-0)2+(1-2)2

=

5

，…（11分）
所求圆的方程为x²+（y-2）²=5．…（12分）

点评：本题考查直线方程的求法和圆的方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．