【题目】毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形,也叫“勾股树”,其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”,重复图1的作法,得到第2代“勾股树”(如图2),如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形,设初始正方形的边长为1,则最小正方形的边长为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知,且,圆,点,是圆上的动点,线段的垂直平分线交直线于点,点的轨迹为曲线.
(1)讨论曲线的形状,并求其方程;
(2)若,且面积的最大值为,直线过点且不垂直于坐标轴,与曲线交于,点关于轴的对称点为.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】设数列(任意项都不为零)的前项和为,首项为,对于任意,满足.
(1)数列的通项公式;
(2)是否存在使得成等比数列,且成等差数列?若存在,试求的值;若不存在,请说明理由;
(3)设数列,,若由的前项依次构成的数列是单调递增数列,求正整数的最大值.
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【题目】已知椭圆,点在椭圆上,过点作斜率为的直线恰好与椭圆有且仅有一个公共点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆的长轴上的一个动点,过点作斜率为的直线交椭圆于不同的两点,,是否存在常数,使成等差数列?若存在,求出的值:若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是1990年-2017年我国劳动年龄(15-64岁)人口数量及其占总人口比重情况:
根据图表信息,下列统计结论不正确的是( )
A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大
B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势
C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值
D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过
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【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,其前项和为,
且,
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列满足,
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数,使得,,成等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(1)当时,求过切点为的切线方程;
(2)若在区间上的最大值为,求a的值;
(3)若不等式恒成立,求a的取值范围.
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