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对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)求证:函数不存在“和谐区间”.
(2)已知:函数(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n-m的最大值.
(3)易知,函数y=x是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”.试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和谐区间”.(不需证明,但不能用本题已讨论过的y=x及形如的函数为例)
【答案】分析:(1)由题意可得函数的定义域(-∞,)∪(0.+∞),故可设[m,n]是已知函数定义域的子集.而函数上单调递增.假设[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则,通过判断方程的解的存在情况进行判断是否存在和谐区间
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.由题意可得[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
若函数(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],由题意可得函数在[m,n]上单调递增.,则,故m、n是方程,即a2x-(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根,利用一元二次方程有两个不同的实根的条件可求a>3或 a<-1而,由二次函数的性质可求
(3)可以举常见的基本初等函数,如y=-x+2,即可.
解答:解:(1)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则(4分)
故m、n是方程的同号的相异实数根.∵x2-3x+5=0无实数根,
∴函数不存在“和谐区间”.(6分)
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函数在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则(10分)
故m、n是方程,即a2x-(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根.

∴m,n同号,只须△=a2(a+3)(a-1)>0,即a>1或a<-3时,已知函数有“和谐区间”[m,n]
,∵
∴当a=3时,n-m取最大值(14分)
(3)如:y=-x+2和谐区间为、[0,2,],[-1,3,],
当a+b=2的区间[a,b];和谐区间为[0,,1]
和谐区间为[-1,0,](18分)
点评:本题主要以新定义为载体,综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解,考查了利用已学知识解决新问题的能力,考查了推理运算的能力,本题综合性较强.
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对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)求证:函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”.
(2)已知:函数y=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n-m的最大值.
(3)易知,函数y=x是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”.试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和谐区间”.(不需证明,但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函数为例)

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f(x)=(
12
)x
;   ②f(x)=x3;    ③f(x)=log2x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是
2
2

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(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)=
3
4
x+
1
x
(x>0)是否为闭函数?并说明理由.

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①f(x)=
1x
; 
②f(x)=log2(x2+2);
③f(x)=2x(x∈(0,+∞)); 
④f(x)=cosπx(x∈[0,1]),其中属于“T”函数的序号是
.(写出所有满足要求的函数的序号)

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对于定义域为D的函数f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内有单调性;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称f(x)为D上的“和谐”函数,[a,b]为函数f(x)的“和谐”区间.
(Ⅰ)求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间;
(Ⅱ)判断函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
是否为“和谐”函数?并说明理由.
(Ⅲ)若函数g(x)=
x+4
+m
是“和谐”函数,求实数m的取值范围.

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