Question

16．求下列函数的单调区间：
（1）f（x）=4x²+$\frac{1}{x}$；
（2）g（x）=$\frac{1}{xlnx}$；
（3）f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数研究函数的单调性．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），则f′（x）=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{8{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{2}$，即函数的单调递增区间为[$\frac{1}{2}$，+∞）；
由f′（x）＜0得x＜$\frac{1}{2}$且x≠0，即函数的单调递减区间为为（0，$\frac{1}{2}$]和（-∞，0）．
（2）函数的定义域为{x|x＞0且x≠1}，
g′（x）=$\frac{-（lnx+1）}{（xlnx）^{2}}$，由g′（x）＞0得1+lnx＜0，即lnx＜-1，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$；
由g′（x）＜0得1+lnx＞0，即lnx＞-1，解得x＞$\frac{1}{e}$且x≠1；
即函数的递增求解为（0，$\frac{1}{e}$），递减求解为（$\frac{1}{e}$，1），（1，+∞）．
（3）函数的定义域为（-∞，+∞），函数的导数f′（x）=$\frac{cosx（2+cosx）-sinx（-sinx）}{（2+cosx）^{2}}$=$\frac{1+2cosx}{（2+cosx）^{2}}$，
由f′（x）＞0得1+2cosx＞0，即cosx$＞-\frac{1}{2}$，即2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，即函数的增区间为（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z，
由f′（x）＜0得1+2cosx＜0，即cosx＜$-\frac{1}{2}$，即2kπ+$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，即函数的增区间为（2kπ+$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$），k∈Z．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．