Question

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，c=3，cosB=$\frac{1}{4}$，则sinC的值为$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意和余弦定理列出方程求出b的值，由余弦定理求出cosB，由B的范围和平方关系求出sinC的值．

解答 解：在△ABC中，∵a=2，c=3，cosB=$\frac{1}{4}$，
∴由余弦定理得，b²=a²+c²-2ac•cosB
=4+9-$2×2×3×\frac{1}{4}$=10，则b=$\sqrt{10}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4+10-9}{2×2×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∵0＜C＜π，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．

点评 本题考查了余弦定理，平方关系的应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．