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4.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=2,c=3,cosB=$\frac{1}{4}$,则sinC的值为$\frac{3\sqrt{6}}{8}$.

分析 根据题意和余弦定理列出方程求出b的值,由余弦定理求出cosB,由B的范围和平方关系求出sinC的值.

解答 解:在△ABC中,∵a=2,c=3,cosB=$\frac{1}{4}$,
∴由余弦定理得,b2=a2+c2-2ac•cosB
=4+9-$2×2×3×\frac{1}{4}$=10,则b=$\sqrt{10}$,
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4+10-9}{2×2×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$,
∵0<C<π,∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$,
故答案为:$\frac{3\sqrt{6}}{8}$.

点评 本题考查了余弦定理,平方关系的应用,以及方程思想,考查化简、计算能力,属于中档题.

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