Question

16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（1，cosB），$\overrightarrow{n}$=（sinB，-$\sqrt{3}$），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，若△ABC面积为10$\sqrt{3}$，b=7，则△ABC的周长为（　　）

• A． 10
• B． 20
• C． 26
• D． 40

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0和三角公式计算B，利用余弦定理计算a+c，从而可求出三角形的周长．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，即sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，
∴sin（B-$\frac{π}{3}$）=0，
∵B是锐角，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵S=$\frac{1}{2}$acsinB=10$\sqrt{3}$，
∴ac=40，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
即49=（a+c）²-80-40，
∴a+c=13，
∴a+b+c=20．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．