Question

设非空集合S={x|m≤x≤l}，满足：当x∈S时，有x²∈S．给出如下四个命题：
（1）若m=1，则S={1}；
（2）若l=1，则m的取值集合为[-1，l]；
（3）若m=-

1

2

，则l的取值集合为[

1

4

，1]；
（4）若l=

1

2

，则m的取值集合为[-

2

2

，0]；
其中所有正确命题的序号是

（1）（2）（3）（4）

．

Answer 1

分析：根据题中条件：“当x∈S时，有x²∈S”对三个命题一一进行验证即可得出正确结果．

解答：解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S，知：
符合定义的参数m的值一定大于等于-1，
符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，
惟如此才能保证l∈S时，有l²∈S，即l²≤l，正对各个命题进行判断：
对于①：m=1，m²=1∈S，则

l2≤l l≥1

，得n=1，∴S={1}；
对于②：l=1，l²=1∈S，则

1≥m 1≥m2

，解得-1≤m≤1；
对于③：m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，则

l2≤l 1 4 ≤l

，解得

1

4

≤l≤1；
对于④：l=

1

2

，l2=

1

4

∈S，则

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

，解得-

2

2

≤m≤0．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．