Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且当x=

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时，y=f（x）有极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，得到f'（1）=3，利用条件当x=

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时，y=f（x）有极值，得到f'（

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）=0，联立方程可求a，b．
（2）利用函数的导数和最大值之间的关系，求函数的最大值和最小值即可．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx+5，∴f'（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，
∴f'（1）=3，即f'（1）=3+2a+b=3，∴2a+b=0．①
∵x=

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时，y=f（x）有极值．
∴f'（

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）=0，即f'（

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）=3×(

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)2+2a×

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+b=0，∴4a+3b=-4  ②
由①②解得a=2，b=-4．
∴f（x）=x³+ax²+bx+5=x³+2x²-4x+5．
（2）∵f'（x）=3x²+4x-4，
∴由f'（x）=0，解得x=-2或x=

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，
当x在[-4，1]上变化时，f'（x）和f（x）的变化如下：

x	-4	（-4，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-11	单调递增	极大值f（-2）=13	单调递减	极小值f（ 2 3 ）= 95 27	单调递增	4

∴由表格可知当x=-4时，函数f（x）取得最小值f（-4）=-11，
在x=-2时，函数取得极大值同时也是最大值f（-2）=13．
故函数f（x）在[-4，1]上的最大值为13和最小值为-11．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义和导数和极值最值之间的关系研究函数的性质，考查学生的运算能力，综合性较强．