Question

（2009•大连一模）已知函数f（x）=

1

2

x2-2x+2，g(x)=loga

1

x

(a＞0，且a≠1)，函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内是增函数，且h′（x）义域内存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

(g′(x)为g(x)的导函数)，试比较x₁与x₀的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）写出h（x），求导数h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，等价于h′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即x2-2x+

1

lna

≥0在区间（0，+∞）上恒成立，由此得△≤0，由h′（x）存在正零点，得△≥0，从而△=0，由此可解a值；
（II）由g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

得，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，作差：x₁-x₀=

x1lnx2-x1lnx1-x2+x1

lnx2-lnx1

，构造函数r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x，利用导数可判断r（x）的单调性，借助单调性即可判断差的符号，从而得到结论；

解答：解：（I）因为h（x）=

1

2

x2-2x+log_ax+2（x＞0），
所以h′（x）=x-2+

1

xlna

=

1

x

(x2-2x+

1

lna

)，
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以

1

x

(x2-2x+

1

lna

)≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即x2-2x+

1

lna

≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
所以△≤0，
又h′（x）存在正零点，故△≥0，
所以△=0，即4-

4

lna

=0，所以lna=1，
所以a=e．
（II）结论x₀＞x₁，理由如下：
由（I），g′（x₀）=-

1

x0lna

=-

1

x0

，
由g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

得，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，
x₁-x₀=x₁-

x2-x1

lnx2-lnx1

=

x1lnx2-x1lnx1-x2+x1

lnx2-lnx1

，
∵x₁＜x₂，∴lnx₂-lnx₁＞0，
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x，
r′（x）=lnx₂-lnx在（0，x₂]上，r′（x）＞0，
所以r（x）在（0，x₂]上为增函数，
当x₁＜x₂时，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
从而x₀＞x₁得到证明．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调的充要条件及恒成立问题的解决，解决（II）问的关键是根据题目特点灵活构造函数，对能力要求较高．