Question

19．过点C（0，$\sqrt{2}$）的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（-a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（3）当点P异于点B时，求证：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由过点C（0，$\sqrt{2}$）的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（2）椭圆的右焦点为（$\sqrt{2}$，0），直线l的方程为y=-x+$\sqrt{2}$，代入椭圆方程化简，得$3{x}^{2}-4\sqrt{2}x=0$，由此能求出|CD|．
（3）当直线l与x轴垂直时，与题意不符．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+$\sqrt{2}$，（k≠0，且k≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入椭圆方程，化简得（2k²+1）x²+4$\sqrt{2}kx$=0，求出D（$\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}，\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$），从而得到k_BD，进而求出直线BD的方程，再由直线AC的方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}k+1}{\sqrt{2}-2k}（x+2）}\\{\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1}\end{array}\right.$，求出Q（-2$\sqrt{2}k$，2k+$\sqrt{2}$），由l方程得P（-$\frac{\sqrt{2}}{k}$，0），由此能证明$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值．

解答 解：（1）∵过点C（0，$\sqrt{2}$）的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）椭圆的右焦点为（$\sqrt{2}$，0），
此时直线l的方程为y=-x+$\sqrt{2}$，
代入椭圆方程化简，得$3{x}^{2}-4\sqrt{2}x=0$，
解得${x}_{1}=0，{x}_{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
代入直线l的方程，得${y}_{1}=\sqrt{2}$，y₂=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴|CD|=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{2}}{3}-0）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{8}{3}$．
证明：（3）当直线l与x轴垂直时，
∵椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（-a，0），∴AC∥BD，与题意不符．
设直线l的方程为y=kx+$\sqrt{2}$，（k≠0，且k≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入椭圆方程，化简得（2k²+1）x²+4$\sqrt{2}kx$=0，
解得${x}_{1}=0，{x}_{2}=\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$，
代入直线l的方程，得${y}_{1}=\sqrt{2}$，${y}_{2}=\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$，
∴D（$\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}，\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$），
∴k_BD=$\frac{\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}}{\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}+2}$=$\frac{\sqrt{2}（1-2{k}^{2}）}{2-4\sqrt{2}k+4{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（1-\sqrt{2}k）（1+\sqrt{2}k）}{（\sqrt{2}-2k）^{2}}$
=$\frac{（\sqrt{2}-2k）（1+\sqrt{2}k）}{（\sqrt{2}-2k）^{2}}$=$\frac{1+\sqrt{2}k}{\sqrt{2}-2k}$，
∴直线BD的方程为y=$\frac{\sqrt{2}k+1}{\sqrt{2}-2k}$（x+2），
又直线AC的方程为$\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}k+1}{\sqrt{2}-2k}（x+2）}\\{\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}k}\\{y=2k+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，∴Q（-2$\sqrt{2}k$，2k+$\sqrt{2}$），
又由l方程得P（-$\frac{\sqrt{2}}{k}$，0），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{k}，0$）•（-2$\sqrt{2}k$，2k+$\sqrt{2}$）=4．
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值4．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的求法，考查向量数量积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、向量数量积等知识点的合理运用．