分析 (I)运用向量的加减运算的几何性质求解绘画,
(II)根据向量的运算得出$\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{1+4+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$,$\sqrt{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{1+4-2\sqrt{2}}$$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
利用夹角得出cosθ=$\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$,求解即可.
解答 解:(I)先做出2$\overrightarrow{a}$,再作出$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$,最后运用向量的减法得出2$\overrightarrow{a}$$-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$,如图表示红色的向量,
(II)设$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$的夹角θ,
∵|$\overrightarrow{a}$|=1,|$\overrightarrow{b}$|=2,且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=1×2×cos45°=$\sqrt{2}$,
∴$\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{1+4+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$,
$\sqrt{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{1+4-2\sqrt{2}}$$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$,($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)$•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$=1-4=-3,
cosθ=$\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}\sqrt{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{5+2\sqrt{2}}×\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{17}}$=$-\frac{3\sqrt{17}}{17}$.
点评 本题考察了平面向量的加减运算,数量积,向量的模的计算,属于向量的典型的题目,难度不大,计算准确即可.
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A. | [-3,3] | B. | [-1,3] | C. | {-3,3} | D. | [-1,-3,3] |
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