Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$如图所示．
（Ⅰ）作出向量2$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$（请保留作图痕迹）；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，求$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，
（II）根据向量的运算得出$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{1+4+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$，$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{1+4-2\sqrt{2}}$$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
利用夹角得出cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$，求解即可．

解答 解：（I）先做出2$\overrightarrow{a}$，再作出$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，最后运用向量的减法得出2$\overrightarrow{a}$$-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，如图表示红色的向量，

（II）设$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$的夹角θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=1×2×cos45°=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{1+4+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$，
$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{1+4-2\sqrt{2}}$$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$，（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=1-4=-3，
cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{5+2\sqrt{2}}×\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{17}}$=$-\frac{3\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．