Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

5

2

，且a_n=

4an-1-1

an-1+2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）设b_n=

1

an-1

，证明数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_n•a_n+1，S_n为数列{c_n}的前n项和，证明S_n＜n+6（1+lnn）．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，结合b_n=

1

an-1

，根据等差数列的定义可得结论；
（2）由（1）可求数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）求出c_n的表达式，可得cn＜1+

6(n+3)

n(n+3)

=1+

6

n

，表示出S_n，利用数学归纳法进行证明．

解答：（1）证明：∵a_n=

4an-1-1

an-1+2

，
∴

1

an-1

=

an-1+2

3(an-1-1)

=

1

an-1-1

+

1

3

，
∵b_n=

1

an-1

，
∴b_n=b_n-1+

1

3

，
∵a₁=

5

2

，
∴b1=

2

3

，
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公差的等差数列．…（4分）
（2）解：由（1）知bn=

2

3

+

1

3

(n-1)=

n+1

3

，从而an=

n+4

n+1

；     （6分）
（3）证明：c_n=

(n+4)(n+5)

(n+1)(n+2)

=

n2+9n+20

n2+3n+2

=1+6×

n+3

n2+3n+2

，
∴cn＜1+

6(n+3)

n(n+3)

=1+

6

n

，（6分）
∴Sn＜n+(1+

1

2

+…+

1

n

)，当n=1时，S₁=5，不等式的左边=7，不等式成立；
当n≥2时，故只要证1+

1

2

+…+

1

n

＜1+lnn，
如下用数学归纳法给予证明：
①当n=2时，ln2-

1

2

＞0，∴n=2时，不等式成立；
②假设当n=k时，结论成立；
当n=k+1时，1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

＜1+lnk+

1

k+1

只需证：1+lnk+

1

k+1

＞1+ln（k+1），即证：ln

k+1

k

＞

1

k+1

令

1

k+1

=x∈(0，1)，则不等式可化为：ln

1

1-x

＞x
即ln（1-x）＜-x，x∈（0，1）．
令f（x）=ln（1-x）+x，则f′（x）=

-1

1-x

+1=

-x

1-x

＜0
∴f（x）在（0，1）上是减函数，又f（x）在（0，1）上连续，
∴f（x）＜f（0）=0，
故ln（1-x）＜-x
∴当n=k+1时，所证不等式对n≥2的一切自然数均成立．
综上所述，S_n＜n+6（1+lnn）成立．（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，属于难题．