Question

如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC，
（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）若PQ⊥平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，
∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC．
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，
又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（Ⅱ）∵PQ⊥平面QBC，
∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，
∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．
∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．
∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD．
∴四边形PADQ是矩形．
设PA=AB=AC=2a，
则PQ=AD=a，PD=a．
又∵BC⊥PA，BC⊥PQ，∴BC⊥平面PADQ，
从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．
∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．
在Rt△PQD中，PQ•QD=PD•QH，则QH==，CQ=BQ=a．
∴sin∠QCH==．
∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为．
分析：（I）过点Q作QD⊥BC于点D，利用面面垂直的性质定理可得QD⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理可得QD∥PA，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）由已知可证明△PQB≌△PQC，得到BQ=CQ．根据点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面QBC，于是PQ∥AD，AD⊥QD．得到四边形PADQ是矩形．设AB=AC=2a，则PQ=AD=a，PD=a．又BC⊥PA，BC⊥PQ，可得BC⊥平面PADQ，从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．得到∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．再利用边角关系即可得出．
点评：熟练掌握空间中的线面、面面垂直的判定与性质定理、线面角的定义、矩形的判定与性质定理、三角形全等的判定与性质定理、等积变形是解题的关键．