Question

已知：在数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=a_n+．
（1）令b_n=4ⁿa_n，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若S_n为数列{a_n}的前n项的和，S_n+λna_n≥对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=a_n+，
得4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．
所以b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2．
故数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）因为数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以b_n=1+2（n-1）=2n-1．
因为b_n=4ⁿa_n，
所以a_n=．
则S_n=+++…++．
又S_n=+++…++．
所以S_n=+2（+++…+）-
=+2×-．
所以S_n=-×-×．
因为S_n+λna_n≥对任意n∈N^*恒成立，
所以-×-×+λ×≥对任意n∈N^*恒成立．
即λ≥×+对任意n∈N^*恒成立
因为n≥1，2n-1≥1，
所以×≤，当且仅当n=1时取等号．
又因为≤，当且仅当n=1时取等号．
所以×+≤，当且仅当n=1时取等号
所以λ≥，所以λ的最小值为．
分析：（1）由题设条件知4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．所以b_n+1=b_n+2，所以数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由题设条件知b_n=1+2（n-1）=2n-1．再由b_n=4ⁿa_n，知a_n=．再由错位相减法可求出S_n=-×-×．然后根据S_n+λna_n≥对任意n∈N^*恒成立，可求出实数λ的最小值．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意错位相减法的灵活运用，认真审题，仔细解答．