Question

经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）为时间t（天）的函数，且销售量近似满足
g（t）=80-2t（件），价格近似满足f（t）=20-|t-10|（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）日销售额=销售量×价格，根据条件写成分段函数即可；
（2）分别求出函数在各段的最大值、最小值，取其中最小者为最小值，最大者为最大值；

解答：解：（1）y=g（t）•f（t）=（80-2t）•（20-|t-10|）
=

(80-2t)(10+t)，0≤t＜10 (80-2t)(30-t)，10≤t≤20

；
（2）当0≤t＜10时，y=-2t²+60t+800在[0，10）上单调递增，y的取值范围是[800，1200）；
当10≤t≤20时，y=2t²-140t+2400在[10，20]上单调递减，y的取值范围是[1200，400]，
在t=20时，y取得最小值为400．t=10时y取得最大值1200，
故第10天，日销售额y取得最大值为1200元；
第20天，日销售额y取得最小值为400元．

点评：本题考查函数在实际问题中的应用，考查分段函数最值的求法，考查学生解决实际问题的能力，属中档题．