Question

关于x的不等式x²+mx-2＜0解集为（-1，2），若复数z₁=m+2i，z₂=cosα+isinα，且z₁•z₂为纯虚数，则tan2α=

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算,一元二次不等式的解法

专题：数系的扩充和复数

分析：根据不等式的解集可得所对应方程的根，将根代入方程可求出m的值；利用复数的乘法法则将z₁•z₂化成标准形式，根据纯虚数的概念建立等式，可求出tanα的值，最后利用二倍角公式可求出所求．

解答： 解：∵不等式x²+mx-2＜0解集为（-1，2）．
∴-1、2是方程x²+mx-2=0的两个根，则4+2m-2=0，解得m=-1
z₁•z₂=（-cosα-2sinα）+（-sinα+2cosα）i为纯虚数，
∴-cosα-2sinα=0，tanα=-

1

2

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

．
故答案为：-

4

3

．

点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及复数的乘法运算和正切的二倍角公式，同时考查了运算求解的能力和计算能力，属于基础题．