Question

【题目】已知椭圆M的对称轴为坐标轴,离心率为,且一个焦点坐标为(,0).

(1)求椭圆M的方程;

(2)设直线l与椭圆M相交于A,B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上,O为坐标原点,求点O到直线l的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设椭圆的标准方程，已知离心率e= ，一个焦点（c，0）=（，0），结合a2=b2+c2，求得a,b,c的值，即可得椭圆方程;

（2）分类讨论，当直线l的斜率存在时，得O到l的最小值为，当直线l的斜率不存在时，得最小值为1，综合考虑，可知点O到l的最小值是.

(1)由题意可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),∴解得a=2,b=,

∴ 椭圆M的方程为=1.

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,联立

化为(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0

,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化为2+4k2-m2>0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).

∴x0=x1+x2=,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=.

∵点P在椭圆M上,∴=1.

∴=1,化简得2m2=1+2k2,满足Δ>0.

又点O到直线l的距离d==.

当且仅当k=0时取等号.

当直线l无斜率时,由对称性可知:点P一定在x轴上,从而点P的坐标为(±2,0),直线l的方程为x=±1,∴点O到直线l的距离为1.

∴点O到直线l的距离的最小值为.