Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）若G为△ABC的重心，

A1M

=3

MG

，设

AB

=a，

AD

=b，

AA1

=c，用向量a、b、c表示向量

A1M

；
（II）若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E为CD中点，AC₁∩BD₁=O，求证；OE⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

分析：（I）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将

AG

用基底表示，再在三角形A₁AG中，将

A1M

用基底表示；
（II）连接C₁E，AE，由已知证明△C₁EA为等腰三角形，从而OE⊥AC₁，同理可证明OE⊥BD₁，最后由线面垂直的判定定理证明结论

解答：解：（I）依题意，

A1M

=

3

4

A1G

=

3

4

(

A1A

+

AG

)
∵G为△ABC的重心，
∴

AG

=

2

3

×

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

3

(

AB

+

AC

)
又∵

AC

=

AB

+

AD

∴

A1M

=

3

4

[

A1A

+

1

3

(

AB

+

AB

+

AD

)]
=

3

4

A1A

+

1

2

AB

+

1

4

AD

=

1

2

a

+

1

4

b

-

3

4

c

（II）证明：连接C₁E，AE，
∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁
∴C₁E=AE，
∴△C₁EA为等腰三角形
∵O为AC₁的中点，
∴OE⊥AC₁
同理可证 OE⊥BD₁
∵AC₁∩BD₁=O，
∴OE⊥平面ABC₁D₁．

点评：本题考查了空间向量的基本定理及其应用，向量加法的三角形法则，重心的性质及线面垂直的判定定理